数独解法汇总
LucasXu80
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2021-01-14 16:55:34
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个人记录
本文汇总了一些常用的数独解法。
一、什么是数独？
看个图。
这么一个 9 \times 9 的方阵便是最标准的数独。
百度百科是这样说的：
数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏。是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据 9 \times 9 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3 \times 3）内的数字均含 1-9，不重复。
数独的要求非常简单，即每行、每列、每宫都恰含 1-9 这 9 个数字，不重不漏。这个概念非常简单，就不画图了。
二、基础解法
数独的基础解法非常简单，有了这些知识就可以解决一些较为简单的数独题。
1. 单行列宫分析法
顾名思义，利用一个单一的行、列、宫分析出数字。
当一个行/列/宫已经填入 8 个数字，只剩一个空格时，可以寻找缺少的那个数字并直接填入。
例如：
在高亮的列中，已有 1-4,6-9 这 8 个数字，只剩 5 不在列中，直接将 5 填入即可。
当数独将近完成时，此时会有急于求成的心理，不妨冷静寻找一下是否有只差 1 格的行/列/宫，可以大大加快解题速度。
2. 单数字分析法
顾名思义，就是盯着一个特定的数字，利用行列宫的关系，分析可能的位置。
观察下面的例子。
考虑数字 6，绿色标出的行列已经有 6 存在了，不能再填。分析左上角宫，除了标绿的 5 个格子外，还有 3 个格子已经有数字了，只有黄色格子可能填 6。
注意，有一种情况尤其容易被忽略，需要特别注意。如下。
格子的颜色含义同上，不再解释。这种用宫的关系推出行列中的关系在实战中较难被发现，我本人也有多次这样的经历。
这一方法我个人在每个数独的开始都使用，逐个分析数字 1-9，先填出一些格子，简化问题。
这就是数独的基础解法了，我们来具体看一个问题。
有兴趣的读者不妨尝试一下，笔者解决此题用了 2:08。
我们先来使用单数字分析法逐个数字分析。
首先分析数字 1，图中数字 1 所在行列宫的空格均染绿。
当然，在赛场上，你没有时间染色，只能靠肉眼。
分析右下宫，发现只有黄色格既没有被染绿，又没有数字存在。将其填上 1。现在变成了这样。
继续分析，发现左数第 3 列只有一个空格既没有染绿，又没有数字。将其填上 1。
至此，分析 1 无法再得出更多结论，继续分析 2。
（此图不小心多涂了一个数字 3，不必在意。）
可以直接发现黄色格子必填 2；填上后再次分析，发现橙色格子也必填 2。至此每一宫中都有 2，2 已经被用完，此后无需再对 2 做任何分析。
依次分析 3,4，这个时候会变成这样：
此时别急着往下分析 5，看图中染黄的两个宫，它们都只剩下了一个空格了。运用单行列宫分析法，直接愉快地把剩下的一个数字填上，分别是 7 和 5。你看，现在又多了一个 5，在分析 5 时就多了一个依据。
接着分析 5，再用一连串的单行列宫分析法直接填入答案。等到用不了的时候，你已经离成功不远了。
接下来继续分析的过程就不再赘述了，直接把答案放给大家。
于是这道数独便被解决啦！
那么以上便是数独的基础解法了，现在你已经可以解决一些简单的甚至略有难度的数独题了，不妨自己一试。接下来我们继续深入，探究更加复杂的结论与解法。
为了方便起见，以下我们对所有的行、列、宫进行编号，如下图。
让我们开始吧！
三、进阶解法
1. 排除法
这种解法也非常简单，但是要一眼看到不太容易。
顾名思义，排除法就是排除一个格子内不可能的数字，最后只剩下一个，即要被填入的数字。
先来看一个简单的例子。
观察 D4 格所在的 5 宫，仅剩 7,8,9 这 3 个数字未被填入。进一步观察 D 列，7,8 这两个数字都已出现，不能再使用，这样一来，1-8 这 8 个数字都被排除了，只有 9 可用。将其填入即可。
接下来给各位读者一个挑战。请在如下的数独中，找出一个空格，可以用排除法确定其数字。后面有答案，但尽量先独立思考。
各位找到答案了吗？
公布答案：B2 格。
图中染灰的格子即为 B2 格所在的行列宫。发现 1-2,4-9 均在这些格子中出现（标绿），只有 3 没有出现过，因此填 3。
这个方法比较困难且不直观，但在解题初期就遇到困难时比较好用。不妨冷静分析一下，说不定会有意想不到的发现。
2. 整体法
没有隔离法。
这个方法非常重要。
整体法指的是将多个格子合为一个整体看，从而分析其他格子。
具体来看例子。
分析 A 列。发现只有 A2、A3 两个空格，剩下的是 2,3 两个数字，所以 A2，A3 必恰有一个 2、一个 3。
再分析 1 宫。虽然 1 宫中有 A2、A3、C1 这 3 个空格，但是我们可以把 A2、A3 看作一个整体，这个整体包含 2 和 3。这样我们就可以发现，只有 9 在 1 宫中没有出现过，即 C1 必填 9。
当然，整体法不局限于分析 2 个格子，来看下面的例子。
先后分析 1 宫和 C 列，将 C1、C2、C3 看作一个整体，可以分析得 C7 必填 7。
这便是一个将 3 个格子视作整体的例子。
整体法还是比较好找的，就不特别举例了。
3. 无中生有法
这个方法的意思是，用一个“虚拟的”数字推出一个实际的结论。
看一个例子。事实上，在下面这个例子中，有一个格子的数字可以确定。各位读者不妨先找一下。
你找到了吗？答案是 I3 格必填 1。
来看一下具体的分析过程。
（此题可以直接分析 2 宫，得 D3、E3、F3 均不为 1，感谢 @Zxc200611 的指出。其实只是想让大家体会一下无中生有法，手造了一个例子没造好 /kk）
首先进行单数字分析，分析 1。在 1 宫中，C1、C2 不能为 1，这样只可能 A1、B1 格为 1。这样，我们就可以知道：1 宫的 1 一定在 1 行中（/fad）。
所以我们就可以在 A1、B1 的位置生成一个虚拟的“1”,横向的判断。（思考一下，为什么不能进行纵向的判断？）
继续分析 3 宫。根据 D2 格中的 1，G2、H2、I2 三格不为 1。又因为我们生成的位于 1 行的虚拟 1，G1、H1、I1 三格也不为 1。这样一来，3 宫中就只剩下了 I3 格，那里必定是 1。
这个思维过程虽然描述起来复杂，但是只要熟练了，就非常简单。
到这里，所有的进阶解法也结束了。给大家出一些题目练练手。
【例 1】在下面的数独中，确定一个 3 的位置。
【答案】C9
【分析】这是一道较难的综合题，我们来看一下分析过程。
首先，由 E8 的 3，可得 C8 一定不为 3。
其次，将 A1、B1 看作一个整体，分析 1 行可得，这两格中所填入的数为 3,6。
这样，利用整体法，我们知道 C2 格不为 3。事实上，B2、C2 格均不为 3。
最终分析 C 列，只剩下 C9 可能为 3。故答案为 C9。
【例 2】确定下面数独中所有 4 的位置。
【答案】如图。
【分析】此题较为简单，只需运用 1 次整体法后分析 4 即可。
注意到 7，在 3 宫中仅有 I1 可能为 7，直接填入。
这张图信息量有点大（
此时分析 1 行，发现仅剩 D1、E1 格，数字 2,4。又由 E5 格中的 4，只有可能 D1 格为 4。
再看 1 宫。由 B4 格中的 4，B2、B3 格中不为 4，这样只剩下 A3、C3 格。将 A3、C3 格作为一个整体，1 宫中的 4 必在 3 行中。
向右分析 3 宫，由刚刚的整体和 H9 格中的 4，不难发现只有 I2 格可能为 4。
随后依次分析 6 宫、8 宫、7 宫、1 宫，即可确定余下 5 个 4 的位置。